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分数函数 最值求法新探

热度0票 浏览22次 时间:2019年8月27日 09:26
  ◆张腾飞
  (湖南文理学院 湖南常德 415000)
  摘要:形如 (这里 ad-cb 不为零)的函数,我们通常转变为,然而过程繁琐,容易出错,后继的讨论也比较复杂,是初学者不容易掌握的内容。本文提供了一种新的解题思路,对求上述函数的最值提出了新的方法。
  命题:假设函数 (这里 ab-cd 不为零)在区间[m,n]
  上有定义,那么有:
  (1)当 ad-bc>0 时,在区间[m,n] 单调递增;(2)当 ad-bc<0 时,在区间[m,n] 单调递减。
  证明:
  所以:当 时 ,在区间[m,n] 单调递
  增;
  当 时 , 。
  证毕
  现在我们用前面的命题来解决下列问题
  例题 1:求 在 X∈[1,3]上的最值。
  解:因为 ad-cb=22>0,由前面命题结论可知: f(x)在区间[1,3]
  上单调递增
  故
  所以 的最小值为 ;最大值为 。
  例题 2:求 在 X∈[ln2,+∞]上的最大值。
  解:令
  得:
  因为对 F(t)有 ad-cb=-5<0
  即:F(t)在区间[2,+∞]上单调递减,再根据复合函数的单调性可知
  上是单调减函数。
  因为
  所以 最大值为-5。
  求 的最小值。
  解:由题意得:
  令
  对 u(x)得:
  ad-cb=2>0
  故:u(x)在 X∈[e,+∞]恒单调递增
  根据复合函数的单调性知:函数 f(x)是一个增函数故:
  例题 4 的最值。
  解:
  对 f(x)得:
  ad-cb=4>>0
  故: f(x)在 X∈[2,3]上单调递增
  综上所述:
  结束语:
  对于 (这里 ab-cd 不为零)此类题目中的最值问题,直接采用:“若 ad-cb>0,则函数单调递增;若 ab-cd<0,则函数单调递增”。简化了此类分式函数的化简过程,有利于进一步的深入了解分式函数
  参考文献:
  [1]复旦大学数学系《数学分析》第三版,高等教育出版社[2]赵振伟,中学数学教材教法[M],1994,华东师范大学出版社。
  [3]李冬胜《高中数学构造式解题思维技巧第二版》 山西教育出版社
  湖南省普通高校教学改革项目([2017],356)。
  指导老师:邹庆云 唐振伟。

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